HypervolumeWithinTimeBudget

多目的最適化の指標の一つであるハイパーボリュームに、実行時間制約を加えた指標です。

1. 概要

$m$目的問題に対して，ハイパーボリューム指標は集団が優越する領域の$m$次元体積を計算します．ここで，集団が優越する領域は，集団の各点と与えられた参照点で張られる$m$次元立方体の和集合で定義されます．

2. 定義

実行可能解の目的関数値の集合を$Y = {y=(y_1,\ldots,y_m)\in\mathbb R^m}$とします．参照点$z=(z_1,\ldots,z_m)\in\mathbb R^m$が与えられたとき，ハイパーボリューム$s$は以下で定義されます．

$$s(Y)=\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}(\bigcup _{y\in Y^{\mathrm{\prime }}}[y_1,z_1]\times \cdots \times [y_m,z_m])\mathrm{.}s(Y)\; =\; \backslash mathrm\{volume\}\backslash left(\backslash bigcup\_\{y\; \backslash in\; Y\text{'}\}\; [y\_1,\; z\_1]\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; [y\_m,\; z\_m]\backslash right).$$
ここで，$Y'$は実行時間の合計が制限時間$T$以下である解の集合です．