Hypervolume

Hypervolumeは、多目的最適化問題に対する指標の一つです。

ハイパーボリューム(Hypervolume)は、 $mm$ 目的問題に対して集団が優越する領域の $mm$ 次元体積を表します。ここで、集団が優越する領域は、集団の各点と与えられた参照点で張られる $mm$ 次元立方体の和集合で定義されます。集団を $YY$ 、目的数を $mm$ とし、参照点 $zz$ が与えられたとき、ハイパーボリューム $ss$ は以下の式で計算されます。

$s(Y,z)=\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}({\bigcup }_{y\in Y}[y_1,z_1]\times \cdots \times [y_m,z_m])s(Y,\; z)\; =\; \backslash mathrm\{volume\}\backslash left(\backslash bigcup\_\{y\; \backslash in\; Y\}\; [y\_1,\; z\_1]\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; [y\_m,\; z\_m]\backslash right)$ .